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binary_search.md

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二分搜索

二分搜索模板

给一个有序数组和目标值,找第一次/最后一次/任何一次出现的索引,如果没有出现返回-1

模板四点要素

  • 1、初始化:start=0、end=len-1
  • 2、循环退出条件:start + 1 < end
  • 3、比较中点和目标值:A[mid] ==、 <、> target
  • 4、判断最后两个元素是否符合:A[start]、A[end] ? target

时间复杂度 O(logn),使用场景一般是有序数组的查找

典型示例

binary-search

给定一个  n  个元素有序的(升序)整型数组  nums 和一个目标值  target  ,写一个函数搜索  nums  中的 target,如果目标值存在返回下标,否则返回 -1。

// 二分搜索最常用模板
func search(nums []int, target int) int {
    // 1、初始化start、end
    start := 0
    end := len(nums) - 1
    // 2、处理for循环
    for start+1 < end {
        mid := start + (end-start)/2
        // 3、比较a[mid]和target值
        if nums[mid] == target {
            end = mid
        } else if nums[mid] < target {
            start = mid
        } else if nums[mid] > target {
            end = mid
        }
    }
    // 4、最后剩下两个元素,手动判断
    if nums[start] == target {
        return start
    }
    if nums[end] == target {
        return end
    }
    return -1
}

大部分二分查找类的题目都可以用这个模板,然后做一点特殊逻辑即可

另外二分查找还有一些其他模板如下图,大部分场景模板#3 都能解决问题,而且还能找第一次/最后一次出现的位置,应用更加广泛

binary_search_template

所以用模板#3 就对了,详细的对比可以这边文章介绍:二分搜索模板

如果是最简单的二分搜索,不需要找第一个、最后一个位置、或者是没有重复元素,可以使用模板#1,代码更简洁

// 无重复元素搜索时,更方便
func search(nums []int, target int) int {
    start := 0
    end := len(nums) - 1
    for start <= end {
        mid := start + (end-start)/2
        if nums[mid] == target {
            return mid
        } else if nums[mid] < target {
            start = mid+1
        } else if nums[mid] > target {
            end = mid-1
        }
    }
    // 如果找不到,start 是第一个大于target的索引
    // 如果在B+树结构里面二分搜索,可以return start
    // 这样可以继续向子节点搜索,如:node:=node.Children[start]
    return -1
}

常见题目

给定一个包含 n 个整数的排序数组,找出给定目标值 target 的起始和结束位置。 如果目标值不在数组中,则返回[-1, -1]

思路:核心点就是找第一个 target 的索引,和最后一个 target 的索引,所以用两次二分搜索分别找第一次和最后一次的位置

func searchRange (A []int, target int) []int {
    if len(A) == 0 {
        return []int{-1, -1}
    }
    result := make([]int, 2)
    start := 0
    end := len(A) - 1
    for start+1 < end {
        mid := start + (end-start)/2
        if A[mid] > target {
            end = mid
        } else if A[mid] < target {
            start = mid
        } else {
            // 如果相等,应该继续向左找,就能找到第一个目标值的位置
            end = mid
        }
    }
    // 搜索左边的索引
    if A[start] == target {
        result[0] = start
    } else if A[end] == target {
        result[0] = end
    } else {
        result[0] = -1
        result[1] = -1
        return result
    }
    start = 0
    end = len(A) - 1
    for start+1 < end {
        mid := start + (end-start)/2
        if A[mid] > target {
            end = mid
        } else if A[mid] < target {
            start = mid
        } else {
            // 如果相等,应该继续向右找,就能找到最后一个目标值的位置
            start = mid
        }
    }
    // 搜索右边的索引
    if A[end] == target {
        result[1] = end
    } else if A[start] == target {
        result[1] = start
    } else {
        result[0] = -1
        result[1] = -1
        return result
    }
    return result
}

给定一个排序数组和一个目标值,在数组中找到目标值,并返回其索引。如果目标值不存在于数组中,返回它将会被按顺序插入的位置。

func searchInsert(nums []int, target int) int {
    // 思路:找到第一个 >= target 的元素位置
    start := 0
    end := len(nums) - 1
    for start+1 < end {
        mid := start + (end-start)/2
        if nums[mid] == target {
            // 标记开始位置
            start = mid
        } else if nums[mid] > target {
            end = mid
        } else {
            start = mid
        }
    }
    if nums[start] >= target {
        return start
    } else if nums[end] >= target {
        return end
    } else if nums[end] < target { // 目标值比所有值都大
        return end + 1
    }
    return 0
}

编写一个高效的算法来判断  m x n  矩阵中,是否存在一个目标值。该矩阵具有如下特性:

  • 每行中的整数从左到右按升序排列。
  • 每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。
func searchMatrix(matrix [][]int, target int) bool {
    // 思路:将2纬数组转为1维数组 进行二分搜索
    if len(matrix) == 0 || len(matrix[0]) == 0 {
        return false
    }
    row := len(matrix)
    col := len(matrix[0])
    start := 0
    end := row*col - 1
    for start+1 < end {
        mid := start + (end-start)/2
        // 获取2纬数组对应值
        val := matrix[mid/col][mid%col]
        if val > target {
            end = mid
        } else if val < target {
            start = mid
        } else {
            return true
        }
    }
    if matrix[start/col][start%col] == target || matrix[end/col][end%col] == target{
        return true
    }
    return false
}

假设你有 n 个版本 [1, 2, ..., n],你想找出导致之后所有版本出错的第一个错误的版本。 你可以通过调用  bool isBadVersion(version)  接口来判断版本号 version 是否在单元测试中出错。实现一个函数来查找第一个错误的版本。你应该尽量减少对调用 API 的次数。

func firstBadVersion(n int) int {
    // 思路:二分搜索
    start := 0
    end := n
    for start+1 < end {
        mid := start + (end - start)/2
        if isBadVersion(mid) {
            end = mid
        } else if isBadVersion(mid) == false {
            start = mid
        }
    }
    if isBadVersion(start) {
        return start
    }
    return end
}

假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转( 例如,数组  [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为  [4,5,6,7,0,1,2] )。 请找出其中最小的元素。

func findMin(nums []int) int {
    // 思路:/ / 最后一个值作为target,然后往左移动,最后比较start、end的值
    if len(nums) == 0 {
        return -1
    }
    start := 0
    end := len(nums) - 1

    for start+1 < end {
        mid := start + (end-start)/2
        // 最后一个元素值为target
        if nums[mid] <= nums[end] {
            end = mid
        } else {
            start = mid
        }
    }
    if nums[start] > nums[end] {
        return nums[end]
    }
    return nums[start]
}

假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转 ( 例如,数组  [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为  [4,5,6,7,0,1,2] )。 请找出其中最小的元素。(包含重复元素)

func findMin(nums []int) int {
    // 思路:跳过重复元素,mid值和end值比较,分为两种情况进行处理
    if len(nums) == 0 {
        return -1
    }
    start := 0
    end := len(nums) - 1
    for start+1 < end {
        // 去除重复元素
        for start < end && nums[end] == nums[end-1] {
            end--
        }
        for start < end && nums[start] == nums[start+1] {
            start++
        }
        mid := start + (end-start)/2
        // 中间元素和最后一个元素比较(判断中间点落在左边上升区,还是右边上升区)
        if nums[mid] <= nums[end] {
            end = mid
        } else {
            start = mid
        }
    }
    if nums[start] > nums[end] {
        return nums[end]
    }
    return nums[start]
}

假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。 ( 例如,数组  [0,1,2,4,5,6,7]  可能变为  [4,5,6,7,0,1,2] )。 搜索一个给定的目标值,如果数组中存在这个目标值,则返回它的索引,否则返回  -1 。 你可以假设数组中不存在重复的元素。

func search(nums []int, target int) int {
    // 思路:/ / 两条上升直线,四种情况判断
    if len(nums) == 0 {
        return -1
    }
    start := 0
    end := len(nums) - 1
    for start+1 < end {
        mid := start + (end-start)/2
        // 相等直接返回
        if nums[mid] == target {
            return mid
        }
        // 判断在那个区间,可能分为四种情况
        if nums[start] < nums[mid] {
            if nums[start] <= target && target <= nums[mid] {
                end = mid
            } else {
                start = mid
            }
        } else if nums[end] > nums[mid] {
            if nums[end] >= target && nums[mid] <= target {
                start = mid
            } else {
                end = mid
            }
        }
    }
    if nums[start] == target {
        return start
    } else if nums[end] == target {
        return end
    }
    return -1
}

注意点

面试时,可以直接画图进行辅助说明,空讲很容易让大家都比较蒙圈

假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。 ( 例如,数组  [0,0,1,2,2,5,6]  可能变为  [2,5,6,0,0,1,2] )。 编写一个函数来判断给定的目标值是否存在于数组中。若存在返回  true,否则返回  false。(包含重复元素)

func search(nums []int, target int) bool {
    // 思路:/ / 两条上升直线,四种情况判断,并且处理重复数字
    if len(nums) == 0 {
        return false
    }
    start := 0
    end := len(nums) - 1
    for start+1 < end {
        // 处理重复数字
        for start < end && nums[start] == nums[start+1] {
            start++
        }
        for start < end && nums[end] == nums[end-1] {
            end--
        }
        mid := start + (end-start)/2
        // 相等直接返回
        if nums[mid] == target {
            return true
        }
        // 判断在那个区间,可能分为四种情况
        if nums[start] < nums[mid] {
            if nums[start] <= target && target <= nums[mid] {
                end = mid
            } else {
                start = mid
            }
        } else if nums[end] > nums[mid] {
            if nums[end] >= target && nums[mid] <= target {
                start = mid
            } else {
                end = mid
            }
        }
    }
    if nums[start] == target || nums[end] == target {
        return true
    }
    return false
}

总结

二分搜索核心四点要素(必背&理解)

  • 1、初始化:start=0、end=len-1
  • 2、循环退出条件:start + 1 < end
  • 3、比较中点和目标值:A[mid] ==、 <、> target
  • 4、判断最后两个元素是否符合:A[start]、A[end] ? target

练习题