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12. 子群 |
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这一讲，我们介绍子群的概念。子群可以看作是群的"儿子"，是群中一部分元素构成的集合，同时满足群的定义。它能够帮助我们理解群的内部结构。
设
为了成为子群，
让我们通过一些例子来理解子群的概念：
考虑整数加法群
-
偶数群： 由所有偶数构成的子集和加法运算构成的群。
-
封闭性：任意两个偶数相加仍然是偶数。
-
结合律: 显然满足。
-
单位元：
$0$ 是整数加法的单位元，也是偶数群的单位元。 -
逆元：每个偶数的逆元是其相反数，也是偶数。
-
偶数群子群满足封闭性、结合律、单位元和逆元的要求，因此它是整数加法群的子群。
考虑正整数模 5 乘法群
-
单位元子群
$\langle 1 \rangle$ ： 由单位元$1$ 构成的子集。这种只包含单位元这一个元素的子群也叫平凡子群。-
封闭性：
$1 \times 1 = 1$ ，仍然属于单位元子群。 -
结合律: 显然满足。
-
单位元：
$1$ 是整数乘法的单位元，也是单位元子群的单位元。 -
逆元：
$1$ 的逆元是$1$ ，也是单位元子群。
-
-
子集
$\set{1, 4}$ 构成的子群。-
封闭性：根据两两相乘表格，运算结果仍然属于
$\set{1, 4}$ 。× 1 4 1 1 4 4 4 1 -
结合律: 显然满足。
-
单位元：
$1$ 是群的单位元。 -
逆元：模 5 下，1 的逆元是 1，4 的逆元是 4。
-
-
子集
$\set{1, 2, 3, 4}$ 构成的子群，它其实等于正整数模 5 乘法群本身。
这 3 个子群满足封闭性、结合律、单位元和逆元的要求，因此它们都是正整数模 5 乘法群的子群。那么子集
考虑整数模 6 加法群
-
单位元子群
$\langle 0 \rangle$ ： 由单位元$0$ 构成的子集。 -
由子集
$\set{0, 3}$ 构成的子群。-
封闭性：两两相加，运算结果仍然属于
$\set{0, 3}$ 。 -
结合律: 显然满足。
-
单位元：
$0$ 是群的单位元。 -
逆元：模 6 下，0 的加法逆元是 0，3 的加法逆元是 3。
-
-
由子集
$\set{0, 2 ,4}$ 构成的子群。-
封闭性：两两相加，运算结果仍然属于
$\set{0, 2 ,4}$ 。 -
结合律: 显然满足。
-
单位元：
$0$ 是群的单位元。 -
逆元：模 6 下，0 的加法逆元是 0，2 和 4 互为加法逆元。
-
-
由子集
$\mathbb{Z}_6=\set{0,1,2,3,4,5}$ 构成的子群，它其实等于母群。
这 4 个子群满足封闭性、结合律、单位元和逆元的要求，因此它们都是整数模 6 加法群的子群。那么子集
有了子群的定义，我们可以推导出一些有关子群的重要性质：
-
原群的单位元也是子群的单位元：
$H \leq G \Longleftrightarrow e_H = e_G$ ，其中$e_H, e_G$ 为$H, G$ 的单位元。
点我展开证明👀
设
由于
等式两边同时消去
- 元素
$a$ 在子群中，那么它在原群中的逆元$a^{-1}$ 也在该子群中：
点我展开证明👀
设
因此
-
子群的交集仍是子群： 若
$H_1 \leq G$ 和$H_2 \leq G$ ，则$H_1 \cap H_2 \leq G$ 。我们可以用这个方法构建子群。
注意，
$H_1 \cup H_2$ 则不一定是$G$ 的子群，比如$2$ 和$3$ 属于$2\mathbb{Z}$ （2 的倍数） 和$3\mathbb{Z}$ （整数中 3 的倍数）的并集，但它们的和$5$ 却不属于并集。
点我展开证明👀
考虑群-
封闭性： 设
$a, b \in H_1 \cap H_2$ 。则$a, b \in H_1$ 且$a, b \in H_2$ 。由于$H_1$ 是$G$ 的子群，$a \cdot b \in H_1$ 。同理，由于$H_2$ 是$G$ 的子群，$a \cdot b \in H_2$ 。因此，$a \cdot b \in H_1 \cap H_2$ 。所以，$H_1 \cap H_2$ 对于群$G$ 的运算是封闭的。 -
结合律： 显然满足。
-
单位元： 由于
$H_1$ 和$H_2$ 都是$G$ 的子群，它们都包含$G$ 的单位元$e$ 。因此他们的交集也包含$G$ 的单位元，即$e \in H_1 \cap H_2$ 。 -
逆元： 设任意
$a \in H_1 \cap H_2$ 。由于$H_1$ 和$H_2$ 都是$G$ 的子群，它们包含$a$ 在$G$ 中的逆元素。因此，他们的交集也包含$a$ 在$G$ 中的逆元素，$a^{-1} \in H_1 \cap H_2$ 。
由封闭性、结合律、单位元和逆元素的性质，我们得知
证毕
在第一节中，我们用群公理来检验子群：先检验是否为子集，然后检验封闭性、结合律、单位元和逆元，如果都满足，即为子群。这样检验有些麻烦，这一节我们介绍个更方便的子群的的检验方法。
给定一个群
点我展开证明👀
我们分别证明充分性和必要性。
充分性（
假设
由于
-
封闭性： 对于任意
$a, b \in H$ ，有$a 🐔 b \in H$ 。 -
逆元存在： 对于任意
$a \in H$ ，有$a^{-1} \in H$ 。
设
必要性（
反过来，假设
-
封闭性： 对于任意
$a, b \in H$ ，有$b^{-1} \in H$ ，根据假设，有$a 🐔 (b^{-1})^{-1} \in H$ ，而$(b^{-1})^{-1} = b$ ，因此有$a 🐔 b \in H$ 。封闭性证明完毕。 -
结合律： 对于任意
$a, b, c \in H$ ，有$a, b, c \in G$ ，因此$(a🐔b)🐔c =a🐔(b🐔c)$ 。 -
单位元存在： 我们令
$b = a$ ，则有$a 🐔 a^{-1} \in H$ ，而$a 🐔 a^{-1} = e$ 为单位元，因此单位元存在。 -
逆元存在： 令
$a = e$ ，对于任意$b \in H$ ，有$e 🐔 b^{-1} \in H$ ，也就是$b^{-1} \in H$ ，因此逆元存在。
综上所述，
证毕。
我们考虑正整数模
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 4 | 4 | 4 |
| 4 | 1 | 1 | 4 |
| 4 | 4 | 4 | 1 |
子群是群论中一个关键的概念，通过构建子群，我们可以更好地理解母群的结构和性质。在后续学习中，子群将为我们深入了解群的各种性质提供坚实的基础。