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26. 域扩张	zk abstract algebra field field extension

WTF zk 教程第 26 讲：域扩张

这一讲，我们将介绍域扩张的概念，它涉及到域的拓展和扩充。

1. 域扩张

给定两个域 $F$ 和 $K$，如果 $F$ 是 $K$ 的子域，那么我们称 $K$ 是 $F$ 的扩域。我们通常用 $F \subseteq K$ 表示域 $F$ 是域 $K$ 的子域（也称基域），用 $K/F$ 表示域 $K$ 是 $F$ 的域扩张（需要注意上下文，容易和商群的符号混淆）。

举个例子，有理数域 $\mathbb{Q}$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 的子域，那么 $\mathbb{R}$ 是 $\mathbb{Q}$ 的扩域。

下面介绍几个和域扩张相关的概念：

• 真子域： 给定两个域 $F$ 和 $K$，如果 $F \subseteq K$ 且 $F$ 不等于 $K$，则称 $F$ 是 $K$ 的真子域。

• 素域： 如果一个域没有真子域，那么我们称它为素域。

2. 代数扩域

代数扩域是一种常用的域扩张的方法，它与多项式相关。

如果对于域扩张 $K/F$ 中的每个元素 $a \in K$，都存在一个非零多项式 $f(x) \in F[x]$，使得 $f(a) = 0$，我们称 $K/F$ 是代数扩张。

我们可以通过代数扩域从小的域 $F$ （以有理数域 $Q$ 为例）构造扩域 $K$：

1. 从多项式环 $F[x]$ 中选择一个多项式 $P(x)$，比如 $P(x) = x^2 -2 = 0$。

2. 接着找到多项式 $P(x)$ 的一个根，这个根也叫代数元。比如 $\sqrt{2}$ 是 $P(x) = x^2 -2 = 0$ 的根，它不属于 $Q$。

3. 我们把这个根加入到 $F$ 中形成扩域 $K$。在上面的例子中，扩域 $K$ 包含形式为 $a + b\sqrt{2}$ 的所有元素，其中 $a, b \in Q$。

4. 我们容易证明扩域 $K$ 是域，且包含 $F$ 中的所有元素。比如扩域 $\set{a + b\sqrt{2}}$ 中的元素在加法和乘法下封闭的，且由于 $a,b \in Q$，扩域包含所有有理数。

为什么这样构造的域是代数扩域呢？

假设代数元为 $\alpha$，它是多项式 $P(x) = 0$ 的一个根，扩域 $K$ 中的元素可以用 $a + b\alpha$ 表示，它是多项式 $P(\frac{x-a}{b})$ 的根。因此这样构造的扩域满足代数扩域的定义，是代数扩域。

2.1 代码示例

在python中，我们可以通过sympy来构造代数扩域：

from sympy import symbols, QQ, RootOf

# 定义符号变量
x = symbols('x')

# 在有理数域 QQ 上构建代数扩域 QQ/(sqrt(2)) (它是 x^2 - 2 = 0 的一个根)
ext_field = QQ.algebraic_field(RootOf(x**2 - 2, 1))

# 输出代数扩域和代数元
print("扩域: ", ext_field)
# QQ<sqrt(2)>

3. 极小多项式

在子域 $F$ 上多项式环 $F[x]$中，以代数元 $\alpha$ 为根的多项式并不唯一，我们设集合 $J_\alpha = \set{P(x) | P(\alpha) = 0}$ 为满足该条件的多项式集合。

换句话说，极小多项式就是多项式环中满足 $P(\alpha) = 0$ 的度最小的多项式。

性质1. $J_\alpha$ 为多项式环 $F[x]$ 的主理想

在 $J_\alpha$ 中，我们可以度最小的首一多项式 $Q(x)$，它满足 $Q(\alpha) = 0$，我们称这个多项式为极小多项式。

性质2. 极小多项式 $Q(x)$ 是唯一的。

性质3. 极小多项式 $Q(x)$ 是不可约多项式。

性质4. 极小多项式 $Q(x)$ 是理想 $J_\alpha$ 的生成元。

性质5. 极小多项式 $Q(x)$ 的度决定了域扩张 $K/F$ 的度。

举个例子，对于扩域 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$，代数元为 $\sqrt{2}$，它有唯一的极小多项式 $x^2 -2 = 0$。该极小多项式的度为 $2$，说明域扩张 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 也是 $2$。这个扩域上的每个元素可以用 $a + b \sqrt{2}$ 表示，有 $1$ 和 $\sqrt{2}$ 两个维度。

4. 总结

这一讲，我们学习了域扩张，代数扩张，和极小多项式。域扩张是将一个较小的基域扩展到一个更大的域的过程。在密码学中，我们通常用代数扩域进行域扩展，构造具有良好性质的域。