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从数学函数到 Haskell 函数

数学函数

高中课本中便对数学函数又一个清晰的定义：

函数表示两个不为空集的集合的对应关系，其输入所在集合被称为定义域，输出所在集合被称为值域，其形式可以表达为：

$f: A \rightarrow B $ $f(x) = y$

上式中，$A$ 为定义域，$B$ 为值域。

例如整数范围内的求和函数，其形式化的表达为：

$add: Z * Z \rightarrow Z$ $add(a,b) = a + b$

Haskell 函数

由于 Haskell 是一个标准化的函数式编程语言，因此 Haskell 中的函数是纯函数，也是数学意义上的函数。

作为反例，诸如下面 js 代码：

let base = 0;
function add(a,b) {
 let result = a + b + base;
 base += 1;
 return result;
}
// add 不是纯函数，包含外部作用域变量 base
add(1,2) // 3, 存在副作用：base 值发生变化
add(1,2) // 4, 输入相同但返回值不同

而在 Haskell 中，不会出现外部变量的值改变的情况（因为所有的值是一个 immutable 数据）。

Haskell 类型

由于 Haskell 是强类型语言，因此，函数中的每个参数都需要指定类型，以下为 Haskell 中数据类型：

Haskell 类型	含义
Int	64位二进制
Integer	数学意义上的整数集 Z
Float	单精度浮点数
Double	双精度浮点数
Char	字符
Bool	布尔
list	[Char]: 字符串；[Int]: 整数列表
tuple	元组

例如书写以下 Haskell 函数：

increase x = x + 1
-- 声明函数 increase, 它接受一个参数 x, 返回值为 x + 1.

当声明函数时，Haskell 已经进行了自动类型推导：

:type increase
-- increase :: Num a => a -> a

:type 是 Haskell 中内置的命令，它返回的是函数类型。

a -> a 是指，类型 a 到类型 a 的函数集合，可以理解该函数的输入为一个类型 a 的参数，输出的类型为 a.

递归函数

以阶乘为例，数学中的阶乘 fact 可以定义为：

1. 当输入为 0 时，结果为 1, 这是终止条件；
2. 当输入 n 大于 0 时，返回 fact(n - 1) * n.

思想移植到 Haskell 上，则为：

fact n  
  | n >  0  = n * fact(n-1)
  | n == 0  = 1