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Un nombre complexe est un nombre qui peut s'écrire sous la forme
a + b * i, tels que a et b sont des nombres réels,
et i est la solution de l'équation x^2 = −1.
Du fait qu'aucun nombre réel ne statisfait l'équation,
i est appellé nombre imaginaire. Étant donné le nombre complexe a + b * i,
a est appellé partie réelle, et b, partie imaginaire.
Un nombre complexe est donc la combinaison d'un nombre réel et d'un nombre imaginaire :
En géométrie, les nombres complexes étendent le concept
de ligne de nombres sur une dimension à un plan complexe à deux dimensions
en utilisant l'axe horizontal pour lepartie réelle
et l'axe vertical pour la partie imaginaire. Le nombre complexe a + b * i
peut être identifié avec le point (a, b) dans le plan complexe.
Un nombre complexe dont la partie réelle est zéro est dit imaginaire pur; les points pour ces nombres se trouvent sur l'axe vertical du plan complexe. Un nombre complexe dont la partie imaginaire est zéro peut être considéré comme un nombre réel; son point se trouve sur l'axe horizontal du plan complexe.
| Nombre complexe | Partie réelle | partie imaginaire | |
|---|---|---|---|
| 3 + 2i | 3 | 2 | |
| 5 | 5 | 0 | Purely Real |
| −6i | 0 | -6 | Purely Imaginary |
A complex number can be visually represented as a pair of numbers (a, b) forming
a vector on a diagram called an Argand diagram, representing the complex plane.
Re is the real axis, Im is the imaginary axis, and i satisfies i^2 = −1.
Un nombre complexe peut être représenté visuellement comme une paire de nombres
(a, b) formant un vecteur sur un diagramme appelé diagramme d'Argand,
représentant le plan complexe.
Re est l'axe réel, Im est l'axe imaginaire et i satisfait i^2 = −1.
Complexe ne veut pas dire compliqué. Cela signifie simplement que les deux types de nombres, réels et imaginaires, forment ensemble un complexe comme on le dirait d'un complexe de bâtiments (bâtiments réunis).
Une manière de définir un point P dans le plan complexe, autre que d'utiliser
les coordonnées x et y, consiste à utiliser la distance entre le point O, le point
dont les coordonnées sont (0, 0) (l'origine), et l'angle sous-tendu
entre l'axe réel positif et le segment de droite OP dans le sens antihoraire.
Cette idée conduit à la forme polaire des nombres complexes.
The valeur absolue (ou module) d'un nombre complexe z = x + yi est:
L'argument de z (parfois appelé « phase » ou « amplitude ») est l'angle
du rayon OP avec l'axe des réels positifs, et s'écrit arg(z). Comme
avec le module, l'argument peut être trouvé à partir de la forme rectangulaire x + yi:
Ensemble, r etφ donnent une autre façon de représenter les nombres complexes, la
forme polaire, car la combinaison du module et de l'argument suffit à indiquer la
position d'un point sur le plan. Obtenir les coordonnées du rectangle d'origine
à partir de la forme polaire se fait par la formule appelée forme trigonométrique :
En utilisant la formule d'Euler, cela peut être écrit comme suit:
Pour ajouter deux nombres complexes, nous ajoutons chaque partie séparément :
(a + b * i) + (c + d * i) = (a + c) + (b + d) * i
Exemple
(3 + 5i) + (4 − 3i) = (3 + 4) + (5 − 3)i = 7 + 2i
Dans un plan complexe, l'addition ressemblera à ceci:
Pour soustraire deux nombres complexes, on soustrait chaque partie séparément :
(a + b * i) - (c + d * i) = (a - c) + (b - d) * i
Exemple
(3 + 5i) - (4 − 3i) = (3 - 4) + (5 + 3)i = -1 + 8i
Pour multiplier les nombres complexes, chaque partie du premier nombre complexe est multipliée par chaque partie du deuxième nombre complexe:
On peut utiliser le "FOIL" (parfois traduit PEID en français), acronyme de Firsts (Premiers), Outers (Extérieurs), Inners (Intérieurs), Lasts (Derniers)" ( voir Binomial Multiplication pour plus de détails):
- Firsts:
a × c - Outers:
a × di - Inners:
bi × c - Lasts:
bi × di
En général, cela ressemble à:
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2
Mais il existe aussi un moyen plus rapide !
Utiliser cette loi:
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Exemple
(3 + 2i)(1 + 7i)
= 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i
= 3 + 21i + 2i + 14i^2
= 3 + 21i + 2i − 14 (because i^2 = −1)
= −11 + 23i
(3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i
En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée.
Un conjugué vois son signe changer au milieu comme suit:
Un conjugué est souvent écrit avec un trait suscrit (barre au-dessus):
______
5 − 3i = 5 + 3i
Dans un plan complexe, le nombre conjugué sera mirroir par rapport aux axes réels.
Le conjugué est utiliser pour aider à la division de nombres complexes
L'astuce est de multiplier le haut et le bas par le conjugué du bas.
Exemple
2 + 3i
------
4 − 5i
Multiplier le haut et le bas par le conjugué de 4 − 5i:
(2 + 3i) * (4 + 5i) 8 + 10i + 12i + 15i^2
= ------------------- = ----------------------
(4 − 5i) * (4 + 5i) 16 + 20i − 20i − 25i^2
Et puisque i^2 = −1, il s'ensuit que:
8 + 10i + 12i − 15 −7 + 22i −7 22
= ------------------- = -------- = -- + -- * i
16 + 20i − 20i + 25 41 41 41
Il existe cependant un moyen plus direct.
Dans l'exemple précédent, ce qui s'est passé en bas était intéressant:
(4 − 5i)(4 + 5i) = 16 + 20i − 20i − 25i
Les termes du milieu (20i − 20i) s'annule! Et pusique i^2 = −1 on retrouve:
(4 − 5i)(4 + 5i) = 4^2 + 5^2
Ce qui est vraiment un résultat assez simple. La règle générale est:
(a + bi)(a − bi) = a^2 + b^2