LISP-Kurs

License

Copyright (C) 2015 Sebastian Jordan. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.3 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled “GNU Free Documentation License”.

Anleitung fuer dieses Dokument

Dieses Dokument enthaelt sehr viel Schemecode. Du kannst den Code extrahieren, sofern du GNU Make und Emacs auf deinem System installiert hast. Fuehre einfach den Befehl

make all

im Verzeichnis aus, in dem die Datei README.org liegt. Eine pdf-Version dieses Dokuments wird ebenfalls erzeugt, sofern latex auf deinem System installiert ist.

Einfuehrung

Dieser Text soll dabei Helfen, einen konzeptuellen Zugang zum Schreiben von Computerprogrammen aus einer funktionalen Perspektive zu geben.

Themen

• Rekursion
• Datenstrukturen
• Streams & Lazy evaluation
• Concurrency

Material

Emacs

Programmiereditor mit gutem LISP/Scheme-Support

Vim

Standard Linuxtexteditor der auf fast allen Systemen installiert ist (Vi)

Structure and Interpretation of Computer Programs

Ein wirklich sehr gutes Lehrbuch zum Thema, das den Author stark beeinflusst hat.

Guile

Wir benutzen Guile als Schemeinterpreter

org-mode

Dieses Dokument ist mit Hilfe von org-mode verfasst.

Ein Beispiel: Wurzel nach Newtonverfahren

(define (sqrt-newton x)
  ;; iteration step
  (define (sqrt-iter guess)
    (if (good-enough? guess)
        guess
        (sqrt-iter (improve guess))))

  ;; test if we are already good enough with our guess
  (define (good-enough? guess)
    (<= (abs (- (square guess) x)) 0.0001))

  ;; square a number
  (define (square n) (* n n))

  ;; improve a guess
  (define (improve guess)
    (avarage guess (/ x guess)))

  (define (avarage a b)
    (/ (+ a b) 2.0))

  ;; start the iteration with 1 as initial guess
  (sqrt-iter 1))

;; test the function
(define test (sqrt-newton 4))
(display "Die Wurzel von 4 ist ")
(display test)
test

Diese Beispiel findest du unter dem Namen examples/sqrt-newton.scm, wenn du die .scm-Dateien gemaess der obigen Anleitung erzeugt hast.

Wiederholung: Funktionen & Blockstruktur

Aufgabe 1.3

Hier ist eine Beispielloesung fuer die Aufgabe 1.3 aus dem Buch:

(define (add-and-mult a b c)
  (define (second-greatest m n o)
    (if (and (<= m n) (<= m o))
        (min n o)
        (if (and (<= n m) (<= n o))
            (min m o)
            (min m n))))
  (define greatest max)
  (define (square x) (* x x))
  (+ (square (second-greatest a b c))
     (square (greatest a b c))))

;; test the function
(add-and-mult 4 2 3)

Das Ergebnis des Tests:

Aufgabe 1.8

Zum Loesen der Aufgabe 1.8 verwenden wir die selbe Strategie wie fuer das Finden der Quadratwurzel. Wir veraendern allerdings die improve-Funktion.

(define (cuberoot-newton x)
  (define (cubert-iter guess)
    (if (good-enough? guess)
        guess
        (cubert-iter (improve guess))))
  (define (good-enough? guess)
    (>= 0.001
        (abs (- (cube guess) x))))

  ;; new improve function
  (define (improve guess)
    (/ (+ (* 2. guess) (/ x (square guess)))
       3.))

  (define (cube n) (* n (square n)))
  (define (square n) (* n n))
  (cubert-iter 1))

;; test the function
(cuberoot-newton 125.0)

Rekursion

Wir wollen die Fakultaet einer Zahl berechnen. Dazu uebertragen wir die Definition der Fakultaet in Scheme.

\begin{align} !x &= x ⋅ !(x - 1)
!0 &= 1 \end{align}

Eine intuitivie Definition der Fakultaet koennte folgende sein:

(define (factorial x)
  (if (<= x 1)
      1                           ;; base case
      (* x (factorial (- x 1))))) ;; recursive step

;; test the function
(factorial 6)

720

Dies ist eine vereinfachte Darstellung der Auswertung der obigen Funktion. Wie wir sehen koennen, benoetigt die Funktion “linear viel” Speicher.

(factorial 5)
(* 5 (factorial 4))
(* 5 (* 4 (factorial 3)))
(* 5 (* 4 (* 3 (factorial 2))))
(* 5 (* 4 (* 3 (* 2 (factorial 1)))))
(* 5 (* 4 (* 3 (* 2 1))))
(* 5 (* 4 (* 3 2)))
(* 5 (* 4 6))
(* 5 24)
120

Unser Ziel ist es, nur konstant viel Speicher – also unabhaengig von der eingegebnene Zahl – zu verbrauche. Dazu wandeln wir die rekursive Definition der Fakultaet in einen iterativen Prozess um.

(define (factorial x)
  (define (iter accu count)
    (if (= count x)
        (* count accu)
        (iter (* accu count) (+ count 1))))
  (iter 1 1))

(factorial 5)

120

Fuer eine Iteration benoetigen wir (genauso wie in Python und Co) nur konstant viel Speicher. Hier ist dargestellt wie der Interpreter den Funktionskoerper der obigen Funktion auswerten koennte.

(define x 3)
(iter 1 1)
(iter 1 2)
(iter 2 3)
6

Fibonacci

Die ersten 10 Elemente der Fibonaccireihe.

fib(n)	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Eine rekursive Definition der Reihe: \begin{equation} fib(n) = fib(n -1) + fib(n - 2) \end{equation}

Hier ist eine Pseudoimplementation der Fibnoaccireihe im imperativen Stil:

int a <- 0
int b <- 1
for i in (3..n)
  int c <- a + b
  a <- b
  b <- c
return b

Als Uebungsvorschlag: Du koenntest versuchen, die Fibonaccireihe als Rekursion & Iteration zu implementieren (Siehe Fakultaet).

Eine rekursive Beispielimplementation fuer die Fibonaccireihe:

(define (fib-rec n)
  (cond ((< n 1) (error "FIB-REC: index to small"))
        ((= n 1) 0)
        ((= n 2) 1)
        ((> n 2) (+ (fib-rec (- n 1)) (fib-rec (- n 2))))))
(fib-rec 10)

34

Hier ist eine iterative Beispielimplementation der Fibonaccizahlen.

(define (fib-iter n)
  (define (iter counter n-1 n-2)
    (if (= counter n)
        n-1
        (iter (1+ counter) (+ n-1 n-2) n-1)))

  (cond ((= n 1) 0)
        ((= n 2) 1)
        (else (iter 2 1 0))))
(fib-iter 10)

34

Listen

Listen bestehen aus Paaren.

Paare

Paare sind zusammengesetzte Datenstrukturen, das heisst, dass sich Paare in kleinere Bestandteile zerlegen lassen und, vor allem, sich aus kleineren Bestandteilen zusammen bauen lassen.

Paare sind “Behaelter”, die genau 2 Werte speichern koennen. Es gibt einen “ersten” Wert und einen “zweiten” Wert, die eindeutig Adressierbar sein muessen.

Es folgt eine Beispielinterface fuer das Programmieren mit Paaren:

(define (pair a b)
  (error "PAIR: undefined"))
(define (1st p)
  (error "1ST: undefined"))
(define (2nd p)
  (error "2ND: undefined"))

;; What would you get?
(1st (pair 1 2)) ;; 1
(2nd (pair 1 2)) ;; 2

(1nd (2nd (2nd (pair 1
                     (pair 2
                           (pair 3
                                 4))))))
;; 3

Und in Scheme?

In Scheme sind die pair-, 1st- und 2nd-Funktion schon definiert.

• pair == cons
• 1st == car
• 2nd == cdr

Beispiel fuer car:

(define new-pair (cons 1 2))
(car new-pair)

1

Beispiel fuer cdr:

(define new-pair (cons 1 2))
(cdr new-pair)

Andere nuetzliche Funktionen im Zusammenhang mit Paaren:

(pair? (cons 1 2)) ;; #t
(pair? 1) ;; #f

#nil ;; #nil ist der sogenannte Nullzeiger und signalisiert KEINEN
     ;; Wert.
(null? #nil) ;; #t
(null? 1) ;; #f

Definition der Primitiven

Hier ist eine Definition von “Paaren” (ohne pair?).

(define (my-cons a b)
  (define (dispatch mode)
    (cond ((= mode 1) a)
          ((= mode 2) b)
          (else (error "COND: Argument not [1..3] -- " mode))))
  dispatch)

(define (my-car list)
  (list 1))

(define (my-cdr list)
  (list 2))

Auswertung der Implementation per Befehlssubstitution:

;; testevaluation (KOMMENTIEREN)
(my-car (my-cons 5 8))
;; zuerst werten wir den Rueckgabewert von my-cons aus.  my-cons gibt
;; uns eine Funktion zurueck (dispatch), die hier durch das lambda
;; dargestellt wird.
(my-car (lambda (mode) (cond ((= mode 1) 5)
                             ((= mode 2) 8))))

;; Jetzt wird my-car ausgewertet.  my-car "bewirkt" dass das Argument
;; (also in diesem Fall die "lambda"-Funktion ein Argument bekommt und
;; dann ausgewertet wird.
((lambda (mode)
   (cond ((= mode 1) 5)
         ((= mode 2) 8)))
 1)

;; Nun wird der Aufruf der "lambda"-Funktion durch den Koerper der
;; Funktion ersetzt.
((define mode 1)
 (cond ((= mode 1) 5)
       ((= mode 2) 8)))
5

Jetzt wirklich Listen

Listen sind in Scheme einfach nur “geschachtelte” Paare.

;; definitions-lists
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

(define empty-list #nil)

(define (list-empty? list) (null? list))

;; put an element in front of the list
(define (prepend elem list)
  (cons elem list))

;; put an element in the end of a list
(define (append list elem)
  (if (null? list)
      (cons elem #nil)
      (cons (car list) (append (cdr list) elem))))

;; get the first element of a list
(define (head list)
  (cond ((pair? list) (car list))
        ((null? list) (error "HEAD: list is empty"))
        (else (error "HEAD: object is not a list"))))

;; get all but the first element of a list
(define (tail list)
  (cond ((pair? list) (cdr list))
        ((null? list) (error "TAIL: list is empty"))
        (else (error "TAIL: object is not a list"))))

;; get all but the last element of a list
(define (init list)
  (cond ((null? list) (error "INIT: empty list given"))
        ((null? (cdr list)) #nil)
        (else (cons (car list)
                    (init (cdr list))))))

;; get the last element of a list
(define (last list)
  (cond ((null? list) (error "LAST: empty list given"))
        ((null? (cdr list)) (car list))
        (else (last (cdr list)))))

;; get the n-th element of a list (starting with 0)
(define (index list n)
  (if (= n 0)
      (car list)
      (index (cdr list) (1- n))))

Generalisierung

Wenn wir mit Listen zu tun haben, dann kommen bestimmte “Probleme” oft vor. Betrachten wir zum Beispiel das folgende Stueckchen Code:

<<definitions-lists>>

;; This procedure adds 1 to every element
(define (add-one list)
  (if (list-empty? list)
      empty-list
      (prepend (1+ (head list))
               (add-one (tail list)))))

(define numbers '(1 2 3 4))
(display "The original list is ")
(write numbers)
(newline)
(display "add-one applied to the list results in ")
(write (add-one numbers))
(newline)

;; This procedure multiplies every element by 2
(define (mult-two list)
  (if (list-empty? list)
      empty-list
      (prepend (* 2 (head list))
               (mult-two (tail list)))))

(define numbers '(1 2 3 4))
(display "The original list is ")
(write numbers)
(newline)
(display "mult-two applied to the list results in ")
(write (mult-two numbers))
(newline)

Beide Funktionen machen etwas sehr Aehnliches. Es wird ueber eine Liste iteriert. Dabei wird auf jedes Element eine Operation angewendet und so eine neue Liste erzeugt.

(define (<function> list)
  (if (list-empty? list)
      empty-list
      (prepend (<operation> (head list))
               (<function> (tail list)))))

Die Generalisierung dieser beiden Funktionen wird map genannt. Wir koennen diese Idee allgemein in Scheme formulieren:

(define (map operation list)
  (if (list-empty? list)
      empty-list
      (prepend (operation (head list))
               (map operation (tail list)))))

Im folgenden Stueckchen Code benutzen wir map um weitere Funktionen zu definieren.

<<definitions-lists>>
<<definition-map>>

(define (add-one list)
  (map 1+ list))

(define (mult-two list)
  (map (lambda (x)
         (* 2 x))
       list))

(write (mult-two '(1 2 3 4 5)))
(newline)
(write (add-one '(1 2 3 4 5)))
(newline)

Hausaufgabe

Wir stellen uns einmal vor, dass wir eine Liste von Zahlen gegeben haben und wollen alle Zahlen aufsummieren. Der Code dafuer wurde wohl in etwa folgendermasse aussehen:

;; We have to include the definitions for our list primitives
<<definitions-lists>>

(define (sum-list list)
  (define (iter accu current)
    (if (list-empty? current)
        accu
        (iter (+ accu (head current)) (tail current))))
  (iter 0 list))

(define numbers '(1 2 3 4 5 6))
(display "The sum of ")
(write numbers)
(display " is ")
(write (sum-list numbers))
(newline)

Wie koennen wir diese Funktion generalisieren? Wenn du im Internet recherchieren willst, dann suche nach den Stichworten fold, left fold, foldl, wie zum Beispiel hier (der Link funktioniert aus irgendeineem Grund nicht auf der github-Seite) geschehen.

Loesung

Die sum-list Funktion macht prinzipiell 2 Dinge:

1. Die Funktion iteriert ueber die List (so wie in map).
2. Die Funktion akkumuliert Werte, die in der Liste gespeichert sind mittels einer Kombinationsfunktion.

(define (foldl accu-fun start list)
  (cond ((list-empty? list) start)
        (else (foldl accu-fun
                     (accu-fun start (head list))
                     (tail list)))))

Wir koennen nun die foldl-Funktion fuer verschiedene Dinge nutzen:

;; We have to include list primitives
<<definitions-lists>>
;; ... and foldl
<<definition-foldl>>
<<definition-map>>

;; The sum function
(define (sum list) (foldl + 0 list))

;; The length function
(define (length list)
  (foldl (lambda (accu e)
           (1+ accu))
         0
         list))

;; We can even define a filter function
(define (filter predicate list)
  (foldl (lambda (accu-list current)
           (if (predicate current)
               (append accu-list current)
               accu-list))
         empty-list
         list))

(define (filter pred list)
  (foldr (lambda (x accu)
           (if (pred x)
               (prepend x accu)
               accu))
         empty-list
         list))

foldr

Manchmal wollen wir aber auch ueber eine Liste von “hinten” aus iterieren. Aehnlich wie foldl wollen wir eine Accumulationsfunktion und einen Startwert angeben koennen. Die Funktion soll dabei jedes Element nur einmal ansehen.

(define (foldr f start list)
  (cond ((null? list) start)
        (else (f (car list)
                 (foldr f start (cdr list))))))

Hausaufgaben

mkList

Hat 1 Argument, n. Soll Liste der Laenge n erzeugen, mit nur 1en drin.

(define (mkList n)
  (cond ((= n 0) #nil)
        (else (cons 1 (mkList (- n 1))))))

    

mkNumbers

Hat 1 Argument, n. Soll Liste erzeugen, mit den Zahlen 1 bis n.

(define (mkNumbers n)
  (define (iter current)
    (cond ((= current n) #nill)
          ((< current n)
           (cons (+ 1 current) (iter (+ 1 current))))
          (else (error "Internal error"))))
  (iter 0))

(define (mkNumbers2 n)
  (define (iter current acc)
    (cond ((= current n) acc)
          ((< current n) (iter (+ 1 current) (append acc (+ 1 current))))))
  (iter 0 #nil))

(define (mkNumber3 n)
  (if (= n 0)
      #nil
      (append (mkNumber3 (- n 1)) n)))


    

iter-list

Hat 3 Argumente

iter-fun

Ist eine Funktion, die ein Argument hat

start-val

Hat den passenden Typen zu iter-fun

n

Integer, so viele Elemente soll die Liste am Ende haben

(define (iter-list fun start len)
  (define (iter current current-elem)
    (cond ((= current len) #nil)
          ((< current len)
           (cons current-elem (iter (+ 1 current) (fun current-elem))))
          (else (error "Internal error"))))
  (iter 0 start))
    

(iter-list 1+ 0 10)
;; '(0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)

(iter-list (lambda (x) (cons 1 x)) empty-list 3)
;; '(#nil '(1) '(1 1))

The List dropth, the List taketh

Manchmal sind wir an den ersten n Elementen einer Liste interessiert. Wir koennen dann entsprechend oft head und tail anwenden.

(define (first-3-elems xs)
  (list (head xs) (head (tail xs)) (head (tail (tail xs)))))

Die Funktion first-3-elems nimmt eine Liste entgegen und gibt eine neue Liste zurueck, die die ersten 3 Elemente enthaelt. Wir koennen diese Funktion zu einer allgemeineren Funktion abstrahieren, die eine Liste und eine Zahl n entgegen nimmt und die ersten n Elemente der Liste zurueck gibt.

(define (take n xs)
  (cond ((= n 0) empty-list)
        ((list-empty? xs)
         (error "-- TAKE: tried to get an element from the empty list"))
        (else (cons (head xs) (take (1- n) (tail xs))))))

Analog dazu koennen wir auch eine Funktion definieren, die die ersten n Elemente einer Liste verwirft und den “Rest” zurueck gibt.

(define (drop n xs)
  (cond ((= 0 n) xs)
        ((list-empty? xs)
         (error "-- DROP: cannot drop another element from the empty list"))
        (else (drop (1- n) (tail xs)))))

Was noch fehlt… Sortieren!

Wir haben gelernt, wie wir

• Listen (mit Hilfe von “higher order functions” erzeugen koenne
• primitive Operationen auf Listen durchfuehren koennen, die einzelne Elemente der Liste manipulieren
• wiederkehrende Operationen abstrahieren koennen und “higher order functions” nutzen koennen um weniger ( = besseren) Code zu schreiben.

Wir haben noch nicht gelernt, wie wir Listen sortieren. Hier ist eine Beispielimplementation von Quicksort. Sie sortiert eine Liste von Zahlen aufsteigend der Groesse nach.

<<definitions-lists>>
<<definition-map>>
<<definition-foldl>>
<<definition-foldr>>
<<definition-filter>>

(define (concat l1 l2)
  (foldr (lambda (x accu)
           (prepend x accu))
         l2
         l1))

(define (concat3 l1 l2 l3)
  (concat l1
          (concat l2 l3)))

(define (quicksort numbers)
  (define (qs)
    (let* ((pivot (head numbers))
           (lower (filter (lambda (x) (< x pivot))
                          (tail numbers)))
           (bigger (filter (lambda (x) (>= x pivot))
                           (tail numbers))))
      (begin
        (write lower)
        (display " ")
        (write pivot)
        (display " ")
        (write bigger)
        (newline)
        (concat3 (quicksort lower)
                 (list pivot)
                 (quicksort bigger)))))

  (cond ((list-empty? numbers) empty-list)
        (else (qs))))

Leider ist die Verwendung dieser Funktion darauf beschraenkt, Zahlen der Groesse nach zu sortieren. Wir koennen diese Beispielimplementation abstrahieren, indem wir “offen” lassen, welche Vergleichsoperation beim Vergleich verwendet werden soll. Auf diese Art koennen wir alle Listen nach beliebigen Kriterien sortieren.

(define (quicksort smaller-than xs)
  (if (list-empty? xs)
      empty-list
      (let*
          ((pivot (head xs))
           (non-pivot (tail xs))
           (< (lambda (x) (smaller-than x pivot)))
           (>= (lambda (x) (not (smaller-than x pivot))))
           (smaller (filter < non-pivot))
           (bigger (filter >= non-pivot)))
        (concat3 (quicksort smaller-than smaller)
                 (list pivot)
                 (quicksort smaller-than bigger)))))

;; Hier ist noch eine Implementation von mergesort
(define (mergesort smaller-or-equal-than xs)
  (define (merge as bs)
    (cond ((list-empty? as) bs)
          ((list-empty? bs) as)
          (else (let
                    ((a (head as))
                     (b (head bs)))
                  (if (smaller-or-equal-than a b)
                      (prepend a
                               (merge (tail as) bs))
                      (prepend b
                               (merge as (tail bs))))))))
  (let*
      ((len (length xs))
       (first-half (take (quotient len 2) xs))
       (second-half (drop (quotient len 2) xs)))
    (if (<= (length xs) 1)
        xs
        (merge (mergesort smaller-or-equal-than
                          first-half)
               (mergesort smaller-or-equal-than
                          second-half)))))

Der Vollstaendigkeit halber, hier noch einmal die Definition von concat3 sauber notiert.

(define (concat l1 l2)
  "Concatenate l1 with l2"
  ;; We choose foldr to prepend all the elements of l1 to l2.  If we
  ;; chose to fold from the left and append every element of l2 to l1,
  ;; we would had a runtime behavior of O(n*m + n^2/2) where
  ;;
  ;; * n = length of l1
  ;; * m = length of l2
  ;;
  ;; This way we have O(n) as runtime behavior. (Why?)
  (foldr (lambda (current accu)
           (prepend current accu))
         l2
         l1))

(define (concat3 l1 l2 l3)
  "Concatenate 3 lists l1 l2 l3"
  ;; First we concatenate l3 and l2, which in turn gets concatenated
  ;; with l1, which gives us a runtime behavior of $ O(n + m) $ where
  ;;
  ;; * n = length of l1
  ;; * m = length of l2
  ;; ( What would be the runtime behavior of
  ;;   (concat (concat l1 l2) l3)
  ;;   ?)
  (concat l1
          (concat l2
                  l3)))

Zusammenfassung, eine kleine Library

Bis hier her haben wir uns angesehen, was wir alles mit Listen anstellen koennen. Wir haben gelernt wie wir Listen als Paare darstellen koennen und haben sogar Paare als Funktionen dargestellt. Wir haben mathematische Probleme effizient geloest (Fibonacci, Fakultaet) und daraus wiederkehrende Prozesse zu Funktionen abstrahiert. Die Funktionen, die wir dabei definiert haben, koennen wir zu einer Library zusammenfassen. Wir nennen sie lists.scm.

<<definitions-lists>>
<<definition-map>>
<<definition-foldl>>
<<definition-foldr>>
<<definition-filter>>
<<definition-iter-list>>
<<definition-take>>
<<definition-drop>>
;; We have to define concat3 before the sorting algorithms because we
;; use these in their definition.
<<definition-concat>>
<<definition-sort>>

Binaere Suchbaeume

Baeume sind genauso wie Listen in erster Linie eine Abstraktion ueber Daten. Listen abstrahieren Daten als eine Sequence die von vorne nach hinten durchgeblaettert werden kann. Das soll uns ermoeglichen, ueber Daten als eine Einheit nachdenken zu koennen.

Listen sind fuer viele Dinge gut, vor allem wenn es um iterative Prozesse geht. Fuer manche Dinge eignen sich Listen allerdings nicht so gut, wie zum Beispiel das Finden von Daten, welches nur mit einer Zeitkomplexitaet von $O(n)$ realisiert werden kann, selbst wenn die Liste bereits sortiert ist. Listen sind auch nicht so toll, wenn es um das hinzufuegen neuer Daten geht. Das hinzufuegen eines Elements zum Beginn einer Liste geht schnell, aber alles andere dauert viel laenger. Zur Erinnerung: Die append-Funktion muss bis ans Ende der Liste iterieren, wenn es Element angehaengt werden soll.

Struktur

Baeume sind, so wie Listen, rekursive Datenstrukturen. Fuer Listen beduetet dass, dass jede Liste entweder leer ist, oder die Verkettung eines Elements mit einer List. Baeume sind sehr aehnlich definiert: Jeder Baum ist entweder leer oder ein Element verkettet mit zwei Unterbaeumen. Die Unterbaeume heissen “linker Unterbaum” und “rechter Unterbaum”.

;; Definitions of tree constructors
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

;; a leaf is just an empty list
(define leaf empty-list)
(define leaf? null?)

;; a branch is a value and two subtrees
(define (branch val left right)
  (list val left right))
(define branch-value car)
(define branch-left cadr)
(define branch-right caddr)

Die Baeume, die wir hier betrachten wollen heissen “binaere Suchbaeume”, binaer, weil jeder Branch (“Zweig”) zwei Unterbaeume hat und Suchbaum, weil wir die Baeume, die wir benutzen geordnet sein sollen, also zum Suchen und Finden von Werten (Daten) verwendet werden. Die Ordnung auf unserem Baum koennen wir folgendermassen beschreiben: Fuer jeden Zweig in unserem Baum gilt, dass alle Elemente, die im linken Unterbaum existieren kleiner als das im Zweig gespeicherte Element sind und alle Elemente im rechten Unterbaum sind grosser als das im Zweig gespeicherte Element. Dies ermoeglicht uns, ad hoc einen Algorithmus zu beschreiben, der beliebige vergleichbare(!!!) Elemente in unserem Baum zu finden.

<<tree-constructors>>

(define (lookup-integer tree n)
  (cond ((leaf? tree) #f)
        ((= n (branch-value tree)) #t)
        ((< n (branch-value tree))
         (lookup-integer (branch-left tree) n))
        (else
         (lookup-integer (branch-right tree) n))))

Es ist leicht zusehen, dass der gegebene Algorithmus rekursiv definiert ist. Wenn wir wissen wollen, ob eine Zahl in einem Leaf (“Blatt”) zu finden ist, dann antwortet der Algorithmus mit #f, da ein Leaf keine Werte enthaelt. Sollte die Funktionen einen Branch finden, dann ueberpruefen wir zu erst, ob das gesuchte Element im aktuellen Branch gespeichert ist, sollte das der Fall sein, geben wir #t zurueck. Sollte auch das nicht der Fall sein, wird ueberprueft, ob die gesuchte Zahl kleiner oder groesser ist, als das aktuelle Element (branch-value). Wenn das gesuchte Element nun also kleiner ist, wissen wir, dass es auf Grund der oben definierten Ordnung nur im linken Unterbaum stecken kann. Im “groesser”-Fall kann es wiederum nur im rechten Unterbaum stecken und wir setzen unsere Suche dort fort.

Es stellt sich nun die Frage, wie wir einen Baum konstruieren koennen, und es stellt sich heraus, dass die Konstruktion fast genauso wie die Suche ablaeuft. Wenn wir eine Element $x$ zu einem leeren Baum, also Leaf, hinzufuegen wollen, dass geben wir einen Branch zurueck, dessen branch-value gerade $x$ ist und dessen Unterbaeume leere sind. Sollten wir versuchen das Element zu einem Branch hinzuzufuegen, dann tritt einer der folgenden drei Faelle ein:

x = branch-value

Das Element ist bereits im Baum enthalten und wir geben einfach den Baum selbst zurueck.

x < branch-value

Um die Ordnung des Baumes zu bewahren, wissen wir, dass $x$ dem linken Unterbaum hinzugefuegt werden muss.

x < branch-value

Aequivalent zum obigen Fall muessen wir $x$ dem rechten Unterbaum hinzufuegen, um die Ordung zu wahren.

(define (insert-int tree x)
  (cond ((leaf? tree) (branch x leaf leaf))
        ((= x (branch-value tree)) tree)
        ((< x (branch-value tree))
         (branch (branch-value tree)
                 (insert-int (branch-left tree) x)
                 (branch-right tree)))
        (else
         (branch (branch-value tree)
                 (branch-left tree)
                 (insert-int (branch-right tree) x)))))

Damit haben wir die atomaren Operationen auf unserem Baum definiert. Die Funktionen die wir definiert haben sind aber auf integer-Werte spezialisiert, wir wuerden aber gern Baeume mit beliebigen vergleichbaren Elementen betrachten koennen. Dafuer brauchen wir eine Moeglichkeit Vergleiche zu kodieren. Wir waehlen dazu folgende Form:

Ein Vergleich ist eine Funktion mit zwei Parametern.

1. Wenn diese Funktion $1$ zurueck gibt, ist das erste Argument groesser als das zweite Argument.
2. Wenn die Funktion $0$ zurueck gibt, sind beide Argumente gleichwertig.
3. Wenn die Funktion $-1$ zurueck gibt, ist das erste Argument groesser als zweite.

Die folgende Funktion “implementiert” eine Vergleichsfunktion fuer

(define (comp-int x y)
  (cond ((< x y) -1)
        ((> x y) 1)
        (else 0)))

Mit einer solchen Funktion koennen wir eine insert-Funktion definieren, unabhaengig von konkreten Vergleichsoperationen funktioniert.

(define (insert comp elem tree)
  (cond ((leaf? tree) (branch elem leaf leaf))
        (else
         (let* ((left (branch-left tree))
                (right (branch-right tree))
                (val (branch-value tree))
                (comp-val (comp elem val)))
           (cond ((= comp-val 1)
                  (branch val left (insert comp elem right)))
                 ((= comp-val -1)
                  (branch val (insert comp elem left) right))
                 ((= comp-val 0)
                  (branch elem left right))
                 (else (error "insert: supplied comparison funktion is illdefined"
                              comp)))))))

Die lookup-Funktion ist aequivalent.

(define (lookup comp elem tree)
  (cond ((leaf? tree) #f)
        (else
         (let* ((val (branch-value tree))
                (left (branch-left tree))
                (right (branch-right tree))
                (comp-val (comp elem val)))
           (cond ((= comp-val 0) val)
                 ((= comp-val 1)
                  (lookup comp elem left))
                 ((= comp-val -1)
                  (lookup comp elem right))
                 (else
                  (error "lookup: supplied comp function is ill defined "
                         comp)))))))

Wir koennen nun Werte einem Baum hinzufuegen und ueberpruefen, ob ein Wert im Baum gespeichert ist. Manchmal wollen wir aber auch einen Wert aus dem Baum loeschen. Loeschen soll an dieser Stelle konstruktiv verstanden werden. Wir wollen bestehende Baeume nicht modifizieren (in der Tat wissen wir noch gar nicht wie wir IRGENDEINEN Wert modifizieren koennen), sondern einen neuen Baum erschaffen, in dem alle Werte aus dem alten Baum vorhanden sind, bis auf den zu loeschenden Wert. Das Loeschen von Werten aus Baeumen ist ein wenig komplizierter als das Loeschen von Werten aus Listen (filter), da wir darauf achten muessen, dass die Struktur des Baumes erhalten bleibt. Die Strategie beim Loeschen ist folgendermassen:

Wenn wir Wert $x$ aus Baum $t$ loeschen wollen, suchen wir zu erst die Stelle an der $x$ im Baum steht. Falls $x ¬\in t$ geben wir einfach den urspruenglichen Baum zurueck. Falls $x ∈ t$, unterscheiden wir drei Faelle:

$x$ hat kein Kind

In diesem Fall ersetzen wir den Branch auf dem $x$ gespeichert ist mit einem Leaf.

$x$ hat ein Kind

In diesem Fall ersetzen wir $x$ durch sein Kind.

$x$ hat zwei Kinder

Wir tauschen $x$ mit dem “linkesten” Wert im rechten Unterbaum von $x$, und fuehren diesen Fall damit auf Fall 1 oder 2 zurueck.

(define (delete comp elem tree)
  ;; delete the leftest node of a tree and return a pair of the
  ;; deletet value and the new tree
  (define (delete-leftest t)
    (let ((left (branch-left t))
          (right (branch-right t))
          (val (branch-value t)))
      (cond ((leaf? left)
             (cons val
                   right))
            (else
             (let ((pair (delete-leftest left)))
               (cons (car pair)
                     (branch val (cdr pair) right)))))))
  (cond ((null? tree) leaf) ;; The value is not in the tree
        (else
         (let* ((left (branch-left tree))
                (val (branch-value tree))
                (right (branch-right tree))
                (comp-val (comp elem val)))
           (cond ((= 1 comp-val)
                  (branch val left (delete comp elem right)))
                 ((= -1 comp-val)
                  (branch val (delete comp elem left) right))
                 ((and (leaf? left) (leaf? right)) leaf)
                 ((leaf? right) left)
                 ((leaf? left) right)
                 (else
                  (let ((l (delete-leftest right)))
                    (branch (car l) left (cdr l)))))))))

Module

Guile/Scheme stellt ein Modulesystem bereit, auf das wir von nun an zurueck greifen wollen. Module werden mit dem Befehl use-modules geladen. Weitere Infos dazu findet ihr im Handbuch von Guile. Um z.B. die fold-Implementation fuer Listen zu benutzen, laden wir das Modul (srfi srfi-1).

(use-modules (srfi srfi-1))

(define (sum ls)
  (fold + 0 ls))

(sum '(1 2 3 4 5))

Eine Liste der verfuegbaren Standardmodule findet ihr auch im Handbuch.

Pattern matching

Es kann immer mal wieder vorkommen, dass wir Funktionen schreiben/benutzen, deren Rueckgabewerte oder Argumente umterschiedliche Strukturen haben koennen. Das einfachste Beispiel an dieser Stelle ist map fuer Listen.

(define (map fun l)
  (cond ((null? l) l)
        (else
         (cons (fun (car l))
               (map fun (cdr l))))))

Wir unterscheiden, ob das Argument l gerade #nil ist oder ein Paar. Dieses Muster kommt in funktionaler Programmierung relativ haeufig vor. Scheme bietet eine andere Moeglichkeit dieses Problem anzugehen: Pattern matching.

(use-modules (ice-9 match))

(define (map fun l)
  (match l
    (()
     '())
    ((head tail ...)
     (cons (fun head)
           (map fun tail)))))

Diese Implementation von map “ueberprueft” die Struktur von l. Handelt es sich um die leere Liste, wird diese leere Liste zurueck gegeben. An sonsten wird die Liste aufgeteilt in head und tail, wobei die Elemente der Liste an die entsprechenden Namen gebunden werden, fun wird auf head angewendet und das Ergebnis dann mit dem “gemapten” tail “geconst”.

Weitere Infos zum Thema “pattern matching” findest du im Handbuch von Guile.

Streams

Streams sind (so, wie Listen auch) Abstaktionen ueber Daten. Wir stellen uns Streams als (un-)endlich lange Sammlung von Daten vor, die wir nacheinander abrufen koennen. Ein Stream muss folgenden Gesetzmaessigkeiten gehorchen:

• (car-stream (cons-stream a b)) = a
• (cdr-stream (const-stream a b)) = b

Das sieht ja erstmal genauso wie die Definition einer Liste aus. Es gibt aber einen kleinen Unterschied zwischen Listen uns Streams: Streams berechnen ihr die enthaltenen Werte nur auf Abruf.

<<definitions-lists>>
<<definition-map>>

(define (print-and-mult-2 x)
  (display x)
  (newline)
  (* 2 x))

(head (map print-and-mult-2 (list 1 2 3 4)))

Functor

Ein Functor ist eine Abstraktion ueber Daten. Ein Functor ermoeglicht das Transformieren von Daten innerhalb einer Datenstruktur. Diese Transformationsfunktion wird haeufig map oder fmap genannt.

Diese fmap-Funktion muss ein paar Regeln gehorchen, um in die Kategorie Functor zu fallen.

1. (fmap id x) = x
2. (fmap g (fmap f x)) = (fmap (compose g f) x)

Die erste Functorregel sagt aus, dass wenn ich fmap mit der Indentitaet auf einen Wert anwende, dann soll der Wert selbst dabei herrauskommen. Die Idenitaet ist die Funktion, die Werte in sich selbst ueberfuert.

(define (id x) x)

Fuer Listen erwarten wir das intuitiv von der map-Funktion:

    (map id (list 1 2 3 4))
<-> (list (id 1) (id 2) (id 3) (id 4))
<-> (list 1 2 3 4)

Die zweite Functorregel sagt aus, dass es keine Rolle spielen darf, ob wir zweimal fmap auf einen Wert anwenden (erst f, dann g), oder ob wir die beiden Funktionen verketten und dann nur einmal fmap anwenden. Die compose Funktion ist folgendermasse definiert.

(define (compose g f)
  (lambda (x)
    (g (f x))))

Noch einmal am Beispiel von Listen:

    (map 2* (map 1+ (list 1 2 3)))
<-> (map 2* (list (1+ 1) (1+ 2) (1+ 3)))
<-> (list (2* (1+ 1)) (2* (1+ 2)) (2* (1+ 3)))
<-> (list ((compose 2* 1+) 1) ((compose 2* 1+) 2) ((compose 2* 1+) 3)
<-> (map (compose 2* 1+) (list 1 2 3))

Wir haben bereits Beispiele fuer Functors gesehen: Listen und Baeume. Dabei ist die map-Funktion fuer Listen auch die fmap-Funktion von Functors. Ein weiteres Beispiel fuer Functors ist der Datentyp maybe.

Beispiel: Maybe

Manchmal haben wir es mit Berechnungen zutun, die kein Ergebnis liefern. Ein Beispiel dafuer, waere die Funktion div, die 2 Zahlen a und b nimmt und das Ergebnis der Division a / b zurueck gibt.

Falls b gleich 0 ist, ist diese Operation nicht definiert. In vielen Programmiersprachen wird dieses Problem durch Exceptions behandelt, andere Sprachen geben im Fehlerfall einfach den 0-Zeiger zurueck und setzen eine Fehlervariable auf eine speziellen Fehlercode.

Wir wollen uns einmal anschauen, wie wir eine potentiell ergebnislose Operation ohne diese Spezialwerkzeuge behandeln koennen. Dazu benoetigen wir eine Art Behaelter, der entweder nichts (nothing) oder genau einen Wert (just VALUE) enthalten kann. Wir muessen irgendwie Werte in diesen Behaelter tun koenne und auch wieder extrahieren koennen. Dazu definieren wir folgende Regeln:

• (nothing? nothing) = #t
• (nothing? (just x)) = #f
• (just? nothing) = #f
• (just? (just x)) = #t
• (maybe x nothing) = x
• (maybe x (just y)) = y
• (from-just nothing) = UNDEFINED
• (from-just (just x)) = x

Wir koennen mit diesen Operationen nun die div-Funktion definieren:

(define (div x y)
  (if (equal? y 0)
      nothing
      (just (/ x y))))

Stellen wir uns nun vor, dass wir das Ergebnis weiter verwenden wollen, in dem wir eine Funktion definieren, die eine Zahl das Reziproke einer Zahl findet (d.h. 1/x) und dann 1 hinzu addiert.

(define (rezi-and-add n)
  (let ((rezi (div 1 n)))
    (if (nothing? rezi)
        nothing
        (just (+ 1 (from-just rezi))))))

Diese erste Implementation sieht irgendwie umstaendlich aus. Wir entpacken das Ergebnis der division nur, um es danach wieder zu verpacken, ausserdem muessen wir uns explizit um den Fehlerfall kuemmern. Was wir brauchen, ist eine Funktion, die einen maybe-Wert nimmt und eine Operation darauf anwendet, sofern der Wert nicht leer ist. Wir nennen diese Funktion mmap (MaybeMAP). Diese Funktion soll die folgenden Regeln befolgen:

• (mmap f nothing) = nothing
• (mmap f (just x)) = (just (f x))

Mithilfe dieser Funktion koennen wir die rezi-and-add-Funktion viel einfacher implementieren:

(define (rezi-and-add n)
  (mmap 1+ (div 1 n)))

Diese zweite verbesserte Version hat die selbe Funktionalitaet ohne, dass wir uns explizit um den Fehlerfall kuemmern muessen.

Implementieren wir nun die interne Repraesentation unseres neuen Datentyps.

(define (just val)
  (cons 'just
        val))

(define nothing
  (cons 'nothing #nil))

(define (just? mval)
  (equal? (car mval) 'just))

(define (nothing? mval)
  (equal? (car mval) 'nothing))

(define (maybe alt mval)
  (if (just? mval)
      (cdr mval)
      alt))

(define (from-just mval)
  (if (just? mval)
      (cdr mval)
      (error "FROM-JUST: cannot extract value from nothing" mval)))

(define (mmap fun mval)
  (if (just? mval)
      (just (fun (from-just mval)))
      nothing))

Wir koennen nun eine kleine Functorbibliothek erstellen. Ziel ist es, eine fmap-Funktion zu schreiben, die auf Listen, Maybewerten, Baeumen und eventuell noch anderen Datenstrukturen operieren kann.

Data directed programming

Stellen wir uns vor, dass wir eine Bibliothek schreiben wollen, die ein einheitliches Interface fuer den Umgang mit Baeumen, Listen und Doppellisten ermoeglichen soll. Wir koennen zum Beispiel fuer alle drei Datentypen map und foldl definieren. Falls wir es schaffen, eine einzige foldl Funktion zu schreiben, bekommen wir automatisch eine length-Funktion “for free”. Um dies zu bewerkstelligen, muessen wir irgendwie entscheiden koennen, mit welchem Datentyp wir es zu tun haben. Dazu nutzen “type tags”.

Tagged data

(define (attach-tag type-tag value)
  (cons type-tag value))

(define (get-tagged-type val)
  (cond ((pair? val) (car val))
        (else (error "GET-TAGGED-TYPE: not a tagged value" val))))

(define (get-tagged-value val)
  (cond ((pair? val) (cdr val))
        (else (error "GET-TAGGED-VALUE: not a tagged value" val))))

Jetzt muessen wir neue Konstruktoren fuer unsere Datentypen definieren, die unsere type tags benutzen.

(define (get-list-internal xs)
  (if (eq? (get-tagged-type xs) 'list)
      (get-tagged-value xs)
      (error "GET-LIST-INTERNAL: value is not a list" xs)))

(define (tail xs)
  (cdr (get-list-internal xs)))

(define (head xs)
  (car (get-list-internal xs)))

(define empty-list
  (attach-tag 'list #nil))

(define (empty? l)
  (null? (get-list-internal l)))

(define (prepend x xs)
  (attach-tag 'list
              (cons x
                    xs)))

(define (init xs)
  (cond ((empty? xs) (error "INIT: list is empty" xs))
        ((empty? (tail xs)) empty-list)
        (else (prepend (head xs)
                       (init (tail xs))))))

(define (last xs)
  (cond ((empty? xs) (error "LAST: list is empty" xs))
        ((empty? (tail xs)) (head xs))
        (else (last (tail xs)))))

(define (reverse xs)
  (define (iter accu rest)
    (cond ((empty? rest) accu)
          (else (iter (prepend (head rest) accu)
                      (tail rest)))))
  (iter empty-list xs))

(define (tagged-list . xs)
  (define (iter ls)
    (cond ((null? ls) empty-list)
          (else (prepend (car ls) (iter (cdr ls))))))
  (iter xs))

(define leaf
  (attach-tag 'tree 'leaf))

(define (branch value left right)
  (attach-tag 'tree
              (list value left right)))

(define (get-tree-internal t)
  (if (eq? (get-tagged-type t) 'tree)
      (get-tagged-value t)
      (error "GET-LEAF-INTERNAL: value is not a tree" t)))

(define (leaf? t)
  (eq? t leaf))

(define (branch? t)
  (not (leaf? t)))

(define (left t)
  (if (branch? t)
      (cadr (get-tree-internal t))
      (error "LEFT: tree is a leaf" t)))

(define (right t)
  (if (branch? t)
      (caddr (get-tree-internal t))
      (error "RIGHT: tree is a leaf" t)))

(define (branch-value t)
  (if (branch? t)
      (car (get-tree-internal t))
      (error "BRANCH-VALUE: tree is a leaf" t)))

(define (tree-add-elem smaller-or-equal t x)
  (if (leaf? t)
      (branch x leaf leaf)
      (if (smaller-or-equal x (branch-value t))
          (branch (branch-value t)
                  (tree-add-elem smaller-or-equal
                                 (left t)
                                 x)
                  (right t))
          (branch (branch-value t)
                  (left t)
                  (tree-add-elem smaller-or-equal
                                 (right t)
                                 x)))))

(define (tree-from-list smaller-or-equal xs)
  (define (iter accu rest)
    (if (empty? rest)
        accu
        (iter (tree-add-elem smaller-or-equal accu (head rest))
              (tail rest))))
  (iter leaf xs))

(define empty-dlist
  (attach-tag 'dlist
              (list empty-list empty-list)))

(define (get-dlist-internal dl)
  (if (eq? (get-tagged-type dl) 'dlist)
      (get-tagged-value dl)
      (error "GET-DLIST-INTERNAL: value is not a double list" dl)))

(define (dprepend val dl)
  (let* ((intern (get-dlist-internal dl))
         (front (car intern))
         (back (cadr intern)))
    (attach-tag 'dlist
                  (list (prepend val front)
                        back))))

(define (dappend dl val)
  (let* ((intern (get-dlist-internal dl))
         (front (car intern))
         (back (cadr intern)))
    (attach-tag 'dlist
                  (list front
                        (prepend val back)))))

(define (dtail dl)
  (let* ((intern (get-dlist-internal dl))
         (front (car intern))
         (back (cadr intern)))
    (cond ((not (empty? front)) (attach-tag 'dlist
                                            (cons (tail front)
                                                  back)))
          (else (attach-tag 'dlist
                            (cons (tail (reverse back))
                                  empty-list))))))

(define (dinit dl)
  (let* ((intern (get-dlist-internal dl))
         (front (car intern))
         (back (cadr intern)))
    (cond ((not (empty? back)) (attach-tag 'dlist
                                           (cons front
                                                 (tail back))))
          (else (attach-tag 'dlist
                            (cons empty-list
                                  (tail (reverse front))))))))

(define (dhead dl)
  (let* ((intern (get-dlist-internal dl))
         (front (car intern))
         (back (cadr intern)))
    (cond ((not (empty? front)) (head front))
          (else (last back)))))

(define (dlast dl)
  (let* ((intern (get-dlist-internal dl))
         (front (car intern))
         (back (cadr intern)))
    (cond ((not (empty? back)) (head back))
          (else (last front)))))

Nun koennen wir eine entsprechende map-Funktion definieren.

<<definition-type-tags>>
<<definition-tagged-list>>
<<definition-tagged-tree>>
<<definition-tagged-double-list>>

(define (map fun container)
  (define (lmap fun l)
    (if (empty? l)
        empty-list
        (prepend (fun (head l))
                 (lmap fun (tail l)))))
  (define (tmap fun t)
    (if (leaf? t)
        leaf
        (branch (fun (branch-value t))
                (tmap fun (left t))
                (tmap fun (right t)))))
  (define (dmap fun dl)
    (let* ((intern (get-dlist-internal dl))
           (front (car intern))
           (back (cadr intern)))
      (attach-tag 'dlist
                  (cons (lmap fun front)
                        (lmap fun back)))))
  (cond ((eq? (get-tagged-type container) 'list) (lmap fun container))
        ((eq? (get-tagged-type container) 'tree) (tmap fun container))
        ((eq? (get-tagged-type container) 'dlist) (dmap fun container))
        (else (error "MAP: unknown type" container))))

Diese Definition ermoeglicht nun ein einheitliches “Interface” fuer alle Datentypen, die die map-Operation unterstuetzen. Ein entscheidender Nachteil ist dabei jedoch, dass wir jedesmal, wenn wir einen neuen Datentypen hinzufuegen wollen, die map-Funktion selbst editieren muessen. Das fuehrt dazu, dass unser kleines Modul nicht gut erweitert werden kann.

Type lookup tables

Ein modularerer Ansatz fuer “ueberladene Funktionen” ist das Benutzen einer Tabelle, in der hinterlegt ist, welche Funktion fuer welchen Typen benutzt werden soll. Wir koennen uns eine Tabelle folgendermassen vorstellen:

Operation	list	tree	dlist
map	lmap	tmap	dmap
foldl	lfoldl	tfoldl	dfoldl

Wenn ein neuer Datentype geschrieben wird, der map unterstuetzt, muss er einfach nur der Tabelle hinzugefuegt werden.

<<definition-type-tags>>
<<definition-tagged-list>>
<<definition-tagged-tree>>
<<definition-tagged-double-list>>

(define map-lookup-table (make-hash-table))

(define (map fun container)
  (let ((op (hashq-ref map-lookup-table
                       (get-tagged-type container))))
    (if op
        (op fun container)
        (error "MAP: not defined for this type"
               (get-tagged-type container)))))

(define (mmap fun l)
  (if (empty? l)
      empty-list
      (prepend (fun (head l)) (mmap fun (tail l)))))

(define (tmap fun t)
  (if (leaf? t)
      leaf
      (branch (fun (branch-value t))
              (tmap fun (left t))
              (tmap fun (right t)))))

(define (dmap fun dl)
  (let* ((intern (get-dlist-internal dl))
         (front (car intern))
         (back (cadr intern)))
    (attach-tag 'dlist
                (list (map fun front)
                      (map fun back)))))

(hashq-set! map-lookup-table 'list mmap)
(hashq-set! map-lookup-table 'dlist dmap)
(hashq-set! map-lookup-table 'tree tmap)

Veraenderliche Daten

Im obigen Programmbeispiel wird der Befehl hashq-set! verwendet. Dieser Befehl nimmt eine Hashmap entgegen und nimmt ein Update vor. Hier sollten wir ein wenig stutzig werden, da bisher einmal erzeugte Daten nicht mehr veraendert werden konnten, mit anderen Worten: hashq-set! ist eine Zuweisungsanweisung.

Wir sollten uns darueber im Klaren sein, sein, dass wir sehr vorsichtig sein muessen, wenn wir veraenderliche Daten haben, da viele nette Eigenschaften funktionaler Programmierung verloren gehen, wenn wir Zuweisungen erlauben. Darunter faellt unter anderem, dass wir nicht mehr davon ausgehen koennen, dass eine Funktion, aufgerufen mit bestimmten Argumenten, immer das selbe Ergebnis produziert, egal wo sie im Programm aufgerufen wird.

Im weiteren Verlauf dieses Textes werden wir Zuweisungen nur fuer 2 Dingen verwenden: “data directed programming” und “memoization” (das werden wir noch kennenlernen). Dies wird den imperativen Einfluss auf unsere Programme gering halten, aber trotzdem flexibel genug sein, um spannende Konzepte kennenzulernen.

GOOPS

Guile Scheme stellt bereits eine Infrastruktur fuer genau solche Anwendungsfaelle bereit, GOOPS. Der Name leitet sich (irgendwie) von objektorientierter Programmierung ab.

Wenn wir GOOPS benutzen wollen, muessen wir es ersteinmal importieren:

(use-modules (oop goops))

Um jetzt unser Funktorinterface zu implementieren, muessen wir eine generische Funktion definieren, die die “mapping”-Funktion repraesentiert

(define-generic fmap)

Nun erstellen wir eine Klasse, wobei Klasse hier sehr nah dran ist, an der Javadefinition fuer Klasse.

(define-class <maybe> ()
  (is-set #:getter maybe-is-set
          #:init-keyword #:is-set)
  (value #:getter maybe-value
         #:init-keyword #:value))

Wir wollen nun Konstruktoren definieren. Der primitive Konstruktor, den jede Klasses von Hause aus besitzt, ist make. Wir wollen aber eigene Konstruktoren definieren.

(define (make-just val)
  (make <maybe> #:is-set #t #:value val))
(define nothing
  (make <maybe> #:is-set #f #:value #f))

Wir haben jetzt die Datenfelder und die Konstruktoren von <maybe> definiert, aber noch keine Methoden. Anders als in Java und Co. werden Methoden nicht als Attribute an Klassen angehaengt, sonder ueber Funktionssignatur deklariert.

(define-method (is-just (x <maybe>))
  (maybe-is-set x))

Die is-nothing-Funktion ist trivial, da wir einfach nur das Ergebnis von is-just negieren muessen.

(define-method (is-nothing (x <maybe>))
  (not (is-just x)))

Unsere fmap-Funktion wird nun auch als Methode von <maybe> implementiert.

(define-method (fmap fun (x <maybe>))
  (if (maybe-is-set x)
      (make-just (fun (maybe-value x)))
      x))

Nun muessen wir nur noch alles zu einem Modul zusammenfassen:

<<goops-example-imports>>
<<goops-example-defs>>
<<goops-example-maybe-def>>
<<goops-example-maybe-methods>>

Objektorientierung

Objektorientierung ist eine Spezialform von data directed programming. Die Methoden, fuer ein Datensatz ein gueltiges Argument darstellen, werden oft Objektmethoden genannt. In den meisten objektorientierten Sprachen werden diese Methoden so definiert, dass ein Parameter der Methode das Objekt ist, “auf das die Methode angewendet” werden soll. In Python geschieht das durch das Argument “self”, in Java und Javascript ist es “this”. Aus dieser Notation ergeben sich haeufig seltsame Streitigkeiten, welche Method zu welcher Objektklasse gehoert.

Nehmen wir einmal an, wir haben eine Klasse Form, die geometrische Formen abbildet und eine Klasse Leinwand, auf die diese Formen “gemalt” werden koennen. Ist die Methode “male Form auf Leinwand” nun eine Methode von Form, die als Argument eine Leinwand entgegen nimmt, oder eine Methode der Klasse Leinwand, die eine Form entgegen nimmt. Man findet Vertreter der eine, als auch der anderen Interpretation.

Dieses Problem ist ein guter Hinweis darauf, dass die Implementation von “OO” durch implizite Argumente und “Klassenmethoden”, die als Standard gilt, so ihre Problemchen hat, ueber die man sich im klaren seien sollte. Das heisst nicht, dass die Art und Weise, wie Java und Co. OO implementieren, schlecht oder abzulehnen ist, sondern soll nur ein Hinweis auf Alternativen und Probleme sein.

Shared variables

Mit der methode set! kann der Wert einer Variable veraendert werden.

(define n 0)
(set! n 1)
(display n)
;; 1

Um die selbe Variable an verschiedenen stellen in unserem Program veraendern zu koennen, nutzen wir set!.

;; Dieses Programm soll es ermoeglichen, einen zentralen Kontostand zu
;; verwalten

;; Wir benoetigen zwei funktionen: einzahlen und kontostand.
(define deposit #f) ;; einzahlen
(define get-balance #f) ;; kontostand

(let ((balance 0)) ;; der kontostand wird mit 0 initialisiert
  (set! get-balance
    (lambda () balance))
  (set! desposit
    (lambda (amount)
      (set! balance (+ balance amount)))))

(get-balance) ;; 0
(deposit 5)
(get-balance) ;; 5
(deposit 10)
(get-balance) ;; 15

Beispiel: web server

Wie die meisten modernen Sprachen, stellt GNU Guile eine Webserverimplementation bereit, mit der beliebige Daten zwischen Client und Server ausgetauscht werden koennen. Der entsprechende Code ist im Modul web server zu finden.

(use-modules (web server))

Das Modul stellt eine Funktion run-server bereit, die den Webserver startet. run-server nimmt ein Pflichtargument entgegen, welches eine Funktion ist, wir nennen sie handler.

(run-server handler)

Die handler-Funktion bearbeitet eingehende Requests und konstruiert (gueltige) Responses. Sie muss zwei Parameter verstehen, wobei der erste Parameter den Request Header und der zweite Parameter den Request body repraesentiert.

(define (handler request-header request-body)
  <<server-handler-implementation>>)

Um dem Interface des Webservers zu genuegen, muss die Funktion ausserdem zwei Argumente zurueck geben, nicht zu verwechseln mit einem Paar von zwei Werten. Guile Scheme stellt die moeglichkeit bereit, dass eine Funktion mehrere Rueckgabewerte hat, dies wird ueber die values-Funktion realisiert, die zu den Grundfunktionen der Sprache gehoert. Der erste Rueckgabewert repraesentiert den Response Header und der zweite Rueckgabewert den Response Body.

(values
 <<server-response-header-implementation>>
 <<server-response-body-implementation>>)

Um den Response Header zu konstruieren, kann die build-response-Funktion aus dem Modul web response genutzt werden.

(use-modules (web response))

(build-response #:code 200
                #:headers `((content-type . (text/html))))

Die Implementation fuer den Response Body muss eine Funktion mit einem Argument sein. Dieses Argument ist ein sogenannter Port, auf den die Ausgabe geschrieben werden muss. Dazu kann zum Beispiel die display-Funktion benutzt werden.

(lambda (port)
  (display "hello world" port))

Das vollstaendige Programm besteht dann aus den oben definierten Bestandteilen.

<<server-imports>>

<<server-handler-def>>

<<server-run>>

Wenn das Programm examples/server1.scm ausgefuehrt wird, wird ein Webserver auf Port 8080 gestartet. Bei einem Request liefert der Server ein HTML-Dokumen aus, in dem “hello world” steht.

Quoting

LISP eignet sich sehr gut fuer sogenanntes “meta programming”, damit bezeichnet man das Schreiben und Manipulieren von Computerprogrammen durch Programme. Jeder gueltige LISP-Ausdruck laesst sich als Liste darstellen.

(define exp (list '+ 1 2))
(eval exp (interaction-environment))

Zum evaluieren des Codes muss der Interpreter wissen, in welcher Umgebung er den Code ausfuehren soll. Die Funktion interaction-environment definiert eine Umgebung aehnlich zu der Umgebung in der REPL.

GNU Free Documentation License

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It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document.

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You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version:

A.

Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission.

B.

List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has fewer than five), unless they release you from this requirement.

C.

State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher.

D.

Preserve all the copyright notices of the Document.

E.

Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices.

F.

Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below.

G.

Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document’s license notice.

H.

Include an unaltered copy of this License.

I.

Preserve the section Entitled “History”, Preserve its Title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section Entitled “History” in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence.

J.

Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the “History” section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission.

K.

For any section Entitled “Acknowledgements” or “Dedications”, Preserve the Title of the section, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein.

L.

Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles.

M.

Delete any section Entitled “Endorsements”. Such a section may not be included in the Modified Version.

N.

Do not retitle any existing section to be Entitled “Endorsements” or to conflict in title with any Invariant Section.

O.

Preserve any Warranty Disclaimers.

If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version’s license notice. These titles must be distinct from any other section titles.

You may add a section Entitled “Endorsements”, provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties–for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard.

You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one.

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